Aufgabe
(aus Lambacher-Schweizer Jahrgangsstufenband für berufliche Gymnasien S. 107 Nr. 12)
Die Temperatur an der Oberfläche eines Biotops wird im Verlauf eines Tages gemessen. Um 0:00 Uhr beträgt die Temperatur an der Oberfläche 19 Grad Celsius. Die niedrigste Temperatur wir um 6:00 Uhr mit 17,8 Grad gemessen, die höchste um 17:00 Uhr.
a) Bestimmen Sie eine ganzrationale Funktion f dritten Grades, die den Verlauf der Oberflächentemperatur modelliert.
b) Zu welchem Zeitpunkt stieg die Temperatur nach diesem Modell am schnellsten?
c) Wie groß ist die momentane Änderungsrate um 22:00 Uhr? Kommentieren Sie den ermittelten Wert. Welche Schlüsse ziehen Sie aus diesem Ergebnis bezüglich der Modellierung?
Lösung
a) Zunächst definierst du die Funktion (Zeile 1). In den Zeilen 2 bis 5 trägst du die Bedingungen für die Funktion f ein, die die Funktion f erfüllen muss. Es muss nämlich f(0) = 0 sein, außerdem liegt bei x = 6 ein Tiefpunkt vor. Also gilt f'(6) = 0 und f(6) = 17.8. Und schließlich wird bei x = 17 ein Maximum erreicht, das heißt es muss f'(17) = 0 sein. Die Indizes 1, 2, … erhältst du durch einen Tiefstrich (gl_1), sie sind aber nicht nötig.
Um die Lösung zu erhalten, kannst du die Zeilen 2 bis 5 markieren (halte die Strg-Taste gedrückt) und dann auf das Löse-Werkzeug klicken. Du erhältst dann in der Zeile 6 die Lösungen. (Alternativ hättest du auch Löse[{gl_1,gl_2,gl_3,gl_4}, {a,b,c,d}] eingeben können, wobei du die Variablenliste {a, b, c, d} hier auch weglassen kannst.) In der Zeile 7 gibst du den Befehl Ersetze[
6] ein; damit ersetzt du die Variablen aus der Funktion in der 1.Zeile (
6). Wenn du auf den Punkt neben der Zeile 7 klickst, wird die Funktion gezeichnet und erhält auch einen Namen (g).
b) Den Anstieg der Temperatur erhältst du mit der ersten Ableitung. Wenn der maximal sein soll, muss die Ableitung der Ableitung, also die zweite Ableitung null sein. Der Befehl Löse ergibt die Lösung in Zeile 8. Durch den Befehl in Zeile 9 erhältst du den Punkt, mit dem Werkzeug als Näherungswert. Also um 11:30 Uhr steigt die Temperatur am stärksten.
c) Um 22 Uhr beträgt die Änderungsrate -0,36 (Zeile 10). Das heißt, dass die Temperatur weiter fallen würde. Eine Funktion dritten Grades hat höchstens zwei Extrempunkte, die hier bei 6 und 17 Uhr liegen. Wenn die Funktion eine gute Modellierung wäre, müsste um 24:00 Uhr in etwa den gleichen Verlauf wie um 0:00 Uhr haben. Die Modellierung könnte nur für den Tag gelten.
