Normalenform der Ebenengleichung

Dieser Beitrag ist Teil 5 von 6 in der Reihe 4.3 Abstände und Winkel

4.3 Abstände und Winkel

Eine Ebene ist bestimmt durch eine der folgenden Bedingungen:

Stützpunkt und zwei Spannvektoren,
drei Punkte,
zwei sich schneidende Geraden,
zwei parallele (und verschiedene) Geraden,
eine Gerade und einen Punkt, der nicht auf der Geraden liegt,
eine lineare Gleichung zwischen den Koordinaten eines allgemeinen Ebenenpunktes,
einen Stützpunkt und einen Normalenvektor der Ebene.

Der letzte Fall ist im folgenden GeoGebra-Applet dargestellt.

Drehe die Ebene und beobachte.
Betrachte den Normalenvektor und die Ebenengleichung. Was fällt dir auf?
Du kannst den Stützpunkt P verschieben und die Koordinaten des Normalenvektors verändern.

Dr. Marie-Luise Herrmann, erstellt mit GeoGebra

Die Normalenform

Du hast vielleicht schon auf das Kontrollkästchen „Allg. Punkt auf der Ebene“ geklickt; falls nicht, mach es jetzt. Du siehst dann den Punkt X und die Vektoren $\vec x$ und $\overrightarrow{PX}$ . Weil $\vec n$ ein Normalenvektor der Ebene ist, gilt $\vec n \perp \overrightarrow{PX}$ und deshalb ist das Skalarprodukt $\vec x \cdot \overrightarrow{PX}=0$ . Wegen $\overrightarrow{PX}=\vec x-\vec p$ ergibt sich dann die Normalengleichung

$E: \vec n \cdot (\vec x-\vec p)=0$

Wenn du die linke Seite ausmultipliziert, erhältst du $\vec n \cdot \vec x-\vec n \cdot \vec p=0$ und weiter $\vec n \cdot \vec x=\vec n \cdot \vec p$ . Mit $\vec n =\begin{pmatrix}n_1\\n_2\\n_3\end{pmatrix}$ und $\vec x =\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}$ ergibt sich:

$E: n_1 \cdot x_1+ n_2 \cdot x_2+n_3 \cdot x_3=\vec n \cdot \vec p$

Auf der rechten Seite steht das Skalarprodukt aus dem Normalenvektor $\vec n$ und dem Stützvektor $\vec p$ , also eine Zahl. Die Gleichung ist nichts anderes als eine Koordinatenform der Ebenengleichung. Aus einer Koordinatenform einer Ebene lässt sich also ein Normalenvektor ablesen!