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CAS-Fenster

Wenn du beim Start von GeoGebra die CAS-Ansicht gewählt hast, siehst du ein Fenster, das so ähnlich aussieht wie das Fenster hier im Browser. Links ist das CAS-Fenster, rechts das Grafik-Fenster. Darüber siehst du die CAS-Werkzeugleiste. „CAS-Fenster“ weiterlesen

Stochastik

Die Stochastik enthält die beiden Gebiete Wahrscheinlichkeitsrechnung und (beurteilende) Statistik. „Stochastik“ weiterlesen

CAS mit GeoGebra

GeoGebra kann auch ohne CAS schon eine ganze Menge. Welche Bedeutung hat dann das CAS-System?

3D mit GeoGebra

Die Einführung im GeoGebra 3D Geometrie QuickStart ist wieder ganz lehrreich. „3D mit GeoGebra“ weiterlesen

Linearkombination

Hier sind zwei Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ gegeben. Der Vektor $\vec{v}$ ist eine Linearkombination „Linearkombination“ weiterlesen

Mathematik-Seiten

Es kommen immer mehr Seiten zur Mathematik zustande. Ich hoffe, „Mathematik-Seiten“ weiterlesen

LGS lösen mit einer Matrix

Auf der Seite Lineare Gleichungssysteme haben wir als Beispiel das LGS

$\begin{align*}3x+6y-2z&=-15\\3x+2y+z&=2\\2x+5y-5z&=-23\end{align*}$

kennengelernt. Diesem LGS entspricht die erweiterte Koeffizientenmatrix:

$\begin{pmatrix}3&6&-2&-15\\3&2&1&2\\2&5&-5&-23\end{pmatrix}$

Bei einer Koeffizienzenmatrix lassen sich die gleichen Zeilenumformungen durchführen wie bei einem normalen LGS. So könnte man dann die Matrix

$\begin{pmatrix}3&6&-2&-15\\0&-4&3&17\\0&0&-35&-105\end{pmatrix}$

erhalten, die der Stufenform entspricht. Wenn man noch weitere Zeilenumformungen vornimmt, kann man zu der Form

$\begin{pmatrix}1&0&0&1\\0&1&0&-2\\0&0&1&3\end{pmatrix}$

gelangen. Diese Form heißt auch die reduzierte Stufenform oder Treppennormalform. GeoGebra kennt diese auch:

Aus der Treppennormalform lassen sich die Lösungen unmittelbar ablesen: x = 1, y = -2 und z = 3. Genial einfach!

Online-Version von GeoGebra

LGS lösen mit Löse

Mit dem CAS-Befehl Löse lassen sich auch Gleichungssysteme lösen. Dann wird aber die Syntax Löse[<Liste von Gleichungen>,<Liste von Variablen>] verwendet. Eine Liste erhältst du, indem du mehrere Objekte (Punkte, Strecken, Funktionen, Gleichungen, …) mit geschweiften Klammern zusammenfasst. In Zeile 4 habe ich die Gleichungen gl1, gl2, gl3 zu einer Liste zusammengefasst und direkt in den Befehl Löse eingetragen. In Zeile 5 habe ich der Liste mit den Gleichungen gl1, gl2, gl3 den Namen lgs gegeben. In Zeile 6 habe ich nur diesen Namen verwendet. Da in den drei Gleichungen nur drei Variablen vorkommen, kann man in diesem Fall sogar die Liste von Variablen weglassen.

Lineare Gleichungssysteme

LGS mit zwei Unbekannten

Eine lineare Gleichung mit zwei Variablen kann auf die Form $a \cdot x + b \cdot y = c$ gebracht werden (dabei dürfen nicht beide Variablen a und b den Wert 0 haben). Eine solche Gleichung entspricht grafisch einer Geraden; jeder Punkt dieser Geraden bildet ein Lösungspaar (x, y) der Gleichung. Es gibt also unendlich viele Lösungen.

Gleichungen lösen

Der einfachste Befehl zum Lösen von Gleichungen heißt in GeoGebra
Löse[ <Gleichung in x> ]. Die zugehörige Beschreibung ist:
Löst die angegebene Gleichung für die Variable x und erzeugt eine Liste mit allen Lösungen. Dieser Befehl entspricht in etwa dem Löse-Werkzeug (siehe Aufgabe 3 aus CAS-Fenster).