Series: GeoGebra-Kurs

Ein kleiner GeoGebra-Kurs zum Kennenlernen.

Gleichungen

Dieser Beitrag ist Teil 12 von 18 in der Reihe GeoGebra-Kurs
 

Die wichtigste Eigenschaft das CAS-Moduls von GeoGebra ist meiner Meinung nach, dass es Gleichungen lösen kann. Manche Gleichungen lassen sich auch im Algebra-Fenster lösen, wenn es zum Beispiel um Nullstellen oder Schnittstellen geht. Das CAS-Modul löst Gleichungen aber auch symbolisch, wenn die Gleichungen Parameter enthält.

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Gleichungen lösen

Dieser Beitrag ist Teil 13 von 18 in der Reihe GeoGebra-Kurs
 

Der einfachste Befehl zum Lösen von Gleichungen heißt in GeoGebra
Löse[ <Gleichung in x> ]. Die zugehörige Beschreibung ist:
Löst die angegebene Gleichung für die Variable x und erzeugt eine Liste mit allen Lösungen. Dieser Befehl entspricht in etwa dem Löse-Werkzeug  (siehe Aufgabe 3 aus CAS-Fenster).

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Lineare Gleichungssysteme

Dieser Beitrag ist Teil 14 von 18 in der Reihe GeoGebra-Kurs
 

LGS mit zwei Unbekannten

Eine lineare Gleichung mit zwei Variablen kann auf die Form a \cdot x + b \cdot y = c gebracht werden (dabei dürfen nicht beide Variablen a und b den Wert 0 haben). Eine solche Gleichung entspricht grafisch einer Geraden; jeder Punkt dieser Geraden bildet ein Lösungspaar (x, y) der Gleichung. Es gibt also unendlich viele Lösungen.

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LGS lösen mit Löse

Dieser Beitrag ist Teil 15 von 18 in der Reihe GeoGebra-Kurs
 

Mit dem CAS-Befehl Löse lassen sich auch Gleichungssysteme lösen. Dann wird aber die Syntax Löse[<Liste von Gleichungen>,<Liste von Variablen>] verwendet. Eine Liste erhältst du, indem du mehrere Objekte (Punkte, Strecken, Funktionen, Gleichungen, …) mit geschweiften Klammern zusammenfasst. In Zeile 4 habe ich die Gleichungen gl1, gl2, gl3 zu einer Liste zusammengefasst und direkt in den Befehl Löse eingetragen. In Zeile 5 habe ich der Liste mit den Gleichungen gl1, gl2, gl3 den Namen lgs gegeben. In Zeile 6 habe ich nur diesen Namen verwendet. Da in den drei Gleichungen nur drei Variablen vorkommen, kann man in diesem Fall sogar die Liste von Variablen weglassen.

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LGS lösen mit einer Matrix

Dieser Beitrag ist Teil 16 von 18 in der Reihe GeoGebra-Kurs
 

Auf der Seite Lineare Gleichungssysteme haben wir als Beispiel das LGS

    \begin{align*}3x+6y-2z&=-15\\3x+2y+z&=2\\2x+5y-5z&=-23\end{align*}

kennengelernt. Diesem LGS entspricht die erweiterte Koeffizientenmatrix:

\begin{pmatrix}3&6&-2&-15\\3&2&1&2\\2&5&-5&-23\end{pmatrix}

Bei einer Koeffizienzenmatrix lassen sich die gleichen Zeilenumformungen durchführen wie bei einem normalen LGS. So könnte man dann die Matrix

\begin{pmatrix}3&6&-2&-15\\0&-4&3&17\\0&0&-35&-105\end{pmatrix}

erhalten, die der Stufenform entspricht. Wenn man noch weitere Zeilenumformungen vornimmt, kann man zu der Form

\begin{pmatrix}1&0&0&1\\0&1&0&-2\\0&0&1&3\end{pmatrix}

gelangen. Diese Form heißt auch die reduzierte Stufenform oder Treppennormalform. GeoGebra kennt diese auch:

Aus der Treppennormalform lassen sich die Lösungen unmittelbar ablesen: x = 1, y = -2 und z = 3. Genial einfach!

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